Question

已知二次函数与一次函数，令W=.

（1）若、的函数图像交于x轴上的同一点.

①求的值；

②当为何值时，W的值最小，试求出该最小值；

（2）当时，W随x的增大而减小.

①求的取值范围；

②求证： .

Answer

（1）①的值为1；②W的最小值是；

（2）①的取值范围是；②证明见解析.

【解析】试题（1）①y2＝x+1与x轴的交点为(-1,0),再把（－1，0）代入二次函数y1=mx2-2mx-3(m>0)中得，m=1;②把函数解析式代入w=y1-y2中得w=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4=(x- ,则当x= 时,W有最小值为 ;(2)由W=y1-y2得：，所以对称轴为，又由m>0， 时，且W随x的增大而减小得：，所以；②当x=-2时，，当时，W随x的增大而减小. 所以， ；由，所以，即；

所以，即<0,所以；

试题解析：

（1）①∵y2＝x+1与x轴的交点为(-1,0)

∴把（－1，0）代入二次函数y1=mx2-2mx-3(m>0)中得，m=1

②w=y1-y2中得w=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4=(x- ,则当x= 时,W有最小值为；

（2）①

对称轴为

因为， 时，且W随x的增大而减小.

所以，，

所以

所以

②当x=-2时，

因为时，W随x的增大而减小.

所以，

因为，所以，即

所以，即<0,所以