Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿AC翻转得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）若B为OG的中点，CE＝，求⊙O的半径长；

（3）①求证：∠CAG＝∠BCG；

②若⊙O的面积为4π，GC＝2，求GB的长．

Answer

(1)见解析;(2)2;(3) ①见解析； ②2.

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，根据折叠的性质得∠OAC=∠FAC，∠F=∠AEC=90°，则∠OCA=∠FAC，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得∠OCG=∠F=90°，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据OC2=OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3）①根据等角的余角相等证明即可；
②利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；

（1）证明：连结，则，

又，

即直线垂直于半径，且过的外端点

是切线.

（2）点是斜边的中点，，

是等边三角形，且是的高。

在，，即，

解得，即的半径为2.

（3）①，，且，

.

②，，由①知：∽，

，即，，

解得：.