Question

如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．

（1）求∠DAE的度数；

（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

（3）如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”，其它条件不变，∠DAE的大小是否变化，并请说明理由．

Answer

1.15°

2.15°

3.的度数大小不变

【解析】

（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°−∠ADE即可求出∠DAE的度数；

（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°−∠ADE即可求出∠DFE的度数；

（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE＝15°即是最好的证明．

（1）∵∠B=40°，∠C=70°，

∴∠BAC=70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=35°，

∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠DAE=90°-∠ADE=15°．

（2）同（1），可得，∠ADE=75°，

∵FE⊥BC，

∴∠FEB=90°，

∴∠DFE=90°-∠ADE=15°．

（3）结论：∠DAE的度数大小不变．

证明：∵AE平分∠BEC，

∴∠AEB=∠AEC，

∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE，

∵∠CAE=∠CAD-∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，

∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴2∠DAE=∠C-∠B=30°，

∴∠DAE=15°．