Question

如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2)6.

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．

（2）根据直角三角形中30°的角所对的直角边为斜边的一半，求出AE和BE的长，再根据勾股定理求出DE的长，从而求出DF和EF的长，根据S平行四边形AECF＝底高计算即可；

(1)连接AF、EC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，

在△AEB和△CFD中，

,

∴△AEB≌△CFD(AAS)，

∴AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

(2)在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABD＝30°，

∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，

在Rt△ADE中，AD＝2，

DE＝

∵△AEB≌△CFD，

∴BE＝DF＝3，

∴EF＝DE-DF=2，

∴S平行四边形AECF＝ ＝6．