Question

如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．

(1)如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长

(2)如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，

①求证：EF＝EG．②求AF的长．

(3)如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．

Answer

(1)AF＝3；(2)①证明见解析；②AF＝6；(3)AF＝．

【解析】

（1）根据翻折的性质可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；

②根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

(1)∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴BF＝EF，

∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF，

在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，

即42+AF2＝(8﹣AF)2，

解得AF＝3；

(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴∠BGF＝∠EGF，

∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，

∴∠BGF＝∠EFG，

∴∠EGF＝∠EFG，

∴EF＝EG；

②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，

∴EF＝EG＝10，

在Rt△EFH中，FH＝＝＝6，

∴AF＝FH＝6；

(3)如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距离为2cm，

∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，

在Rt△ENG中，GN＝＝＝8，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∵∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴ ，

即，

解得EK＝ ，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴ ，

即 ，

解得FH＝，

∴AF＝FH＝．