Question

“三等分任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个任意角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，当AB＝BE＝EF时，有∠FAN＝∠MAN，请你证明．

Answer

见解析.

【解析】

由BC⊥CN，BC⊥BF可证AN∥BF，从而∠FAN=∠F.由外角的性质得∠BEA=∠EBF+∠F，进而可证明∠FAN=∠MAN成立.

证明：∵BC⊥CN，BC⊥BF，∴∠ACB=∠CBF=90°

∴AN∥BF，∴∠FAN=∠F

又∵AB=BE=EF

∴∠BAE=∠BEA，∠EBF=∠F

又∵∠BEA=∠EBF+∠F

∴∠BAE=2∠F，∴∠BAE=2∠FAN，即∠FAN=∠MAN.