Question

如图，已知⊙的半径垂直于弦，点在的延长线上，平分

（1）求证：是⊙的切线；（2）若，，求.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

连接OA，由半径OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为劣弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到∠BAC为∠AOC的一半，而AC为∠BAP的平分线，得到∠BAC为∠BAP的一半，可得出∠AOC=∠BAP，在直角三角形中两锐角互余，等量代换得到∠OAB+∠BAP为90度，即∠OAP为直角，可得出AP为圆的切线；

(2)利用（1）的条件，再结合已知，，得，易求PC.

【解析】
（1）连结，

平分

，即

是⊙的切线.

（2）由（1）得，，

设，则，

解得，