Question

如图，在斜坡上按水平距离间隔50米架设电缆，塔柱上固定电缆的位置，离塔柱底部的距离均为20米.若以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，已知斜坡所在直线的解析式为，两端挂起的电缆下垂近似成二次项系数为抛物线的形状.

（1）点的坐标为      ，点的坐标为      ；

（2）求电缆近似成的抛物线的解析式；

（3）小明说：在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离最近。你是否认同？请计算说明。

Answer

（1），；（2）；（3）不认同，见解析.

【解析】

（1）直接由题意即可得到答案.

（2）设抛物线的解析式为，将点A（0，20），C（50，30）代入求解可得；

（3）先求得抛物线的顶点，设为抛物线上一点，过点作轴的垂线，交斜坡于点，交轴一点，列出的解析式可得出MN最小值时x的值与抛物线顶点的比较.

【解析】
(1)由题意易知P点坐标为（0，20），Q点坐标为（50，30）.

（2）设抛物线的函数解析式为，

把和代入，得

解得

抛物线的函数解析式为

（3）不认同.

抛物线的顶点为

如图，设为抛物线上一点，过点作轴的垂线，交斜坡于点，交轴一点，

设点，则为

当时，有最小值，此时下垂的电缆在竖直方向上斜坡的距离最近.