Question

已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连按AB和BE．

（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；

（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；

（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【解析】

（1）根据垂径定理可得BN＝CN，根据垂直平分线的性质可得EB＝EC，从而可得∠BED＝2∠BCD，只需证明∠BAM＝∠BCD即可；

（2）连接AC，如图2，易得BC＝2CN，要证AE＝2CN，只需证AE＝BC，只需证△ABE≌△CDB，只需证BE＝BD即可；

（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，由AB＝CD可推出OP＝OQ，易证∠BEA＝∠CEA，根据角平分线的性质可得OH＝OQ，即可得到OP＝OH，则有，从而可得由AE＝11可求出AO、EO，就可求出AM、EM．

【解析】
（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，

∴∠ENC＝∠EFA＝90°．

∵∠AEF＝∠CEN，

∴∠BAM＝∠BCD．

∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，

∴BN＝CN，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠BCD，

∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；

（2）连接AC，如图2，

∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，

∴=

∴∠BAM＝∠CAM，

∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，

∴BD＝BE．

在△ABE和△CDB中，

∴△ABE≌△CDB，

∴AE＝CB．

∵BN＝CN，

∴AE＝CB＝2CN；

（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，

则有

∵AB＝CD，

∴AP＝CQ，

∴

∵AM垂直平分BC，

∴EB＝EC，

∴∠BEA＝∠CEA．

∵OH⊥BE，OQ⊥CD，

∴OH＝OQ，

∴OP＝OQ＝OH，

∴

又∵

∴

设AO＝7k，则EO＝4k，

∴AE＝AO+EO＝11k＝11，

∴k＝1，

∴AO＝7，EO＝4，

∴AM＝2AO＝14，

∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．