Question

如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

Answer

(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P(，)．

【解析】

（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标；
（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=-x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，最后将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可.

【解析】
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴D(1，﹣9)．

(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B(4，0)．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴E(1，0)．

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，

∴EP为∠BEF的角平分线．

∴∠BEP=45°．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．

∵点P在第四象限，

∴x=．

∴y=．

∴P(，)．