Question

（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．

（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；

②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；

（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．

Answer

（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．

【解析】试题（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC=BE．只要证明AD+AC=2AG=2EG，再证明EB=BE即可解决问题；

（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的长，由sin∠ACH=，推出AK的长，设FG=y，则AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得关于y的方程，求出y即可解决问题．

试题解析：（1）①结论：BC=BD，

理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，

∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；

②结论：AD+AC=BE，

∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；

（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，

由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，

易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，

∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，

设FG=y，则AF=﹣y，BF=，

∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，

∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍弃），

∴DF=GF+DG=，即DF=．