Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．

Answer

（1）证明见解析；（2）5.

【解析】（1）连接OD，利用D是AC中点，O是AB中点，那么OD就是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，则∠DEC=90°，利用平行线的性质，有∠ODE=∠DEC=90°，即DE是⊙O的切线；

（2）连接BD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，即BD⊥AC，在△ABC中，点D是AC中点，于是BD是AC的垂直平分线，那么BA=BC，在Rt△CDE中，DE=2，tanC=，可求CE=4，再利用勾股定理可求CD=2，同理在Rt△CDB中，CD=2，tanC=，可求BD=，利用勾股定理可求BC=5，从而可知BA=BC=5．

（1）证明：连接OD．

∵D为AC中点，O为AB中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=∠DEC=90°，

∴OD⊥DE于点D，

∴DE为⊙O的切线；

（2）连接DB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴DB⊥AC，

∴∠CDB=90°

∵D为AC中点，

∴AB=BC，

在Rt△DEC中，

∵DE=2，tanC=，

∴EC=＝4，

由勾股定理得：DC=2，

在Rt△DCB中，BD=DC•tanC＝，

由勾股定理得：BC=5，

∴AB=BC=5，

∴⊙O的直径为5．