Question

已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；

(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

Answer

1.（1）①如图11，作AE⊥PB于点E．

∵△APE中，∠APE=45°，，

∴，

．

∵，

∴．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴．…………1分

②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，

可得△≌△，,．

∴=90°，=45°，=90°．

∴．分

∴．…………2分

解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的 延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，

，．

在Rt△PFG中，可得，．

在Rt△PDF中，可得

．

2.（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△， PD 的最大值即为的最大值.

∵△中，，，，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴当三点共线时，取得最大值（见图15）.

此时，即的最大值为6. …………4分

此时∠APB=180°－=135°. …………5分

【解析】

（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．

(1)①

如图，作AE⊥PB于点E，

∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，

∴AE＝PE＝×＝1，

∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB＝＝．

②解法一：

如图，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，

可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．

∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°

∴PP′＝PA＝2，

∴PD＝P′B＝＝＝；

解法二：

如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的

延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，

可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．

在Rt△PFG中，

可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．

在Rt△PDF中，可得，

PD＝＝＝．

(2)如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°

得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，

∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝ PA＝2，PB＝4，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）

此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．

此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．