Question

已知：如图，长方形中，，，点是边的中点，点从点出发，沿着方向运动再过点沿方向运动，到点停止运动，点以同样的速度从点出发沿着方向运动，到点停止运动，设点运动的路程为.

（1）当时，线段的长是          ；

（2）当点在线段上运动时，图中阴影部分的面积会发生改变吗？请你作出判断并说明理由.

（3）在点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出点的运动路程，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）6；（2）阴影面积不变，理由见解析；（3）x=3或6.

【解析】

（1）根据AQ=AD﹣DQ，只要求出DQ即可解决问题．

（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．根据S阴=S△APM+S△AQM计算即可．

（3）分两种情形分别构建方程求解即可解问题．

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8．

AP=DQ=2，∴AQ=AD﹣DQ=8﹣2=6．

故答案为：6．

（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由如下：

连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH=AB=4．

∵S阴=S△APM+S△AQMx×4（8﹣x）×4=16，∴阴影面积不变．

（3）分两种情况讨论：

①当点P在线段AB上时，BP=4﹣x，DQ=x．

∵BPDQ，∴4﹣xx，∴x=3．

②当点P在线段BM上时，BP=x﹣4，DQ=x．

∵BPDQ，∴x﹣4x，∴x=6．

综上所述：当x=3或6时，BPDQ．