Question

如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）求证：ED平分∠BEP.

Answer

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】（1）连接OE，如图，利用圆周角定理得到∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，加上∠C=∠CEO，∠PED=∠C．则∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，然后根据切线的性质定理可判定PE是 O的切线；

（2）利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再利用AE∥CD得到∠EFD=90°，接着利用等角的余角相等可判断∠FED=∠C，所以∠PED=∠FED．

证明：(1)连接 OE ，如图，

∵CD为直径，

∴∠CED=90°, 即 ∠CEO+∠OED=90°，

∵OC=OE, 

∴∠C=∠CEO ，

∴∠C+∠OED=90°，

∵∠PED=∠C.

∴∠PED+∠OED=90°, 即 ∠OEP=90°，

∴OE⊥PE，

∴PE 是 O 的切线；

(2)∵AB 为直径，

∴∠AEB=90°，

而 AE ∥ CD ，

∴∠EFD=90°，

∴∠FED+∠EDF=90°，

而 ∠C+∠EDC=90°，

∴∠FED=∠C ，

∴∠PED=∠FED ，

∴ED 平分 ∠BEP.