Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）EF是⊙O的切线，理由见解析；（2）S阴影= ．

【解析】试题（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

试题解析：（1）连接OE，

∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，

∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 ，

∴阴影部分的面积== ．