Question

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.

Answer

2

【解析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.

如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，

设A（x1，y1），B（x2 ， y2），

∵A、B在反比例函数上，

∴x1y1=x2y2=2，

∵，

解得：x1=，

又∵，

解得：x2=，

∴x1x2=×=2，

∴y1=x2， y2=x1，

即OC=OD，AC=BD，

∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，

∴∠ACO=∠BDO=90°，

∴△ACO≌△BDO（SAS），

∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，

又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，

∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，

∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，

∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，

故答案为：2.