Question

如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点．过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：为等腰三角形；

（2）若，的半径为3，求的长．

Answer

(1)见解析;(2)6.

【解析】

（1）连接OD，根据等角的余角相等可得，然后证明∠EFD=∠EDF即可解决问题；

（2）先求得OF=1，设DE=EF=x，则OE=x+1，在Rt△ODE中，根据勾股定理求得DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

（1）连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵为的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴△EFD为等腰三角形.

（2）∵，半径为3，

∴，

∵，

∴，

在中，，则，

∵，

∴，解得，

∴，

∵为的切线，

∴，

∴，

而，

∴，

∴，即，

∴．