Question

某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

Answer

(1) 0≤x＜20；(2) 降价2.5元时，最大利润是6125元

【解析】

（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．

(1)根据题意得y=(70−x−50)(300+20x)=−20x2+100x+6000，

∵70−x−50>0，且x≥0，

∴0≤x<20.

(2)∵y=−20x2+100x+6000=−20(x−52)2+6125，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.