Question

如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

Answer

（1），顶点D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）

【解析】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；

（3）由S△PAB•PH•xB，即可求解．

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a，b，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：yx2x﹣3．

当x=2时，y，即顶点D的坐标为（2，）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：

①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；

②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0）；

③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=，则点C坐标为（，0）．

综上所述：存在，点C的坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k，故函数的表达式为：yx﹣3，设点P坐标为（m，m2m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB•PH•xB（m2+12m）=－6m2+30m=，当m=时，S△PAB取得最大值为：．

答：△PAB的面积最大值为．