Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，，.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；

(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；

(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形(P为上述(2)问中使S最大时的点)？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设点M是直线AC上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在位于直线AC下方的点N，使得以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

(1)y=；对称轴为x=；(2)S=-(m-2)2+4，点P的坐标为(2，3)；(3)点M的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)或(，)时，△MPC为等腰三角形；(4)点N的坐标为(，)或(，)或(-2，1)．

【解析】

（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，确定出C坐标，由B与C坐标设出抛物线的交点式解析式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；

（2）连接AP，CP，过P作PQ垂直于x轴，将x=m代入抛物线解析式表示出P的纵坐标，即为PQ的长，三角形APC面积=梯形APQO面积+三角形PQC面积-三角形AOC面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S最大时m的值，即可确定出此时P的坐标；

（3）分点M是顶点、点C是顶点、点P是顶点三种情况分别讨论即可；

（4）分为边、为对角线分别进行讨论即可.

(1)∵A(0，2)，B(-1，0)，

∴OA=2，OB=1，

∵∠AOB=∠AOC=∠BAC=90°，

∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO+∠OAC=90°，

∴∠ABO=∠CAO，

∴△AOB∽△COA，

∴，即，解得，

∴点的坐标为，

设过、、三点的抛物线的解析式为，

将代入，得，解得，

∴过、、三点的抛物线的解析式为，即，

∵，

∴抛物线的对称轴为；

(2)过点作轴的垂线，垂足为点，

∵点在上，

∴，

∴ ，

，

，

∴

，

∵，

∴当时，最大，

当时，，

∴点的坐标为；

(3)存在．

设点，

∵，，

∴，

，

.

分三种情况讨论：

①当点是顶点时，，即，解得，．

∴，

②当点是顶点时，，即，解得，．

∴，，

③当点是顶点时，，即，解得，．

∴，，

综上所述，当点的坐标为或或或或时，为等腰三角形．

(4)当为边时，，，

若在右侧时，则点的坐标为；

若在左侧时，则点的坐标为，

当为对角线时，垂直平分，则点的纵坐标为1，

把代入得，

∴，

∴，

综上所述，当点N的坐标为(，)或(，)或(-2，1)．