Question

如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB＝6，BC＝8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）当点R在线段AC上时，求出t的值．

（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．

Answer

（1）t=；

（2）S与t之间的函数关系式为：．

（3）t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或s或s时，△LRE是等腰三角形．

【解析】

试题（1）根据三角形相似可得，即，解答即可；

（2）根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可；

（3）根据△LRE是等腰三角形满足的条件．

试题解析：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：，

设MP为t，则PR=2t，AP=4﹣t，

∴可得：，即，

解得：t=；

（2）当时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0；

当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积=，

；

当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（2t﹣3）2t=2t2﹣3t．

当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（12﹣2t）×2t=﹣2t2+12t．

当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=；

综上所述S与t之间的函数关系式为：．

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，

①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=4s，△LRE是等腰三角形；

当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=8s，△LRE是等腰三角形；

综上所述，t的取值范围是4≤t≤8；

②当EL=LR时，如图所示：

LR=2t，CF=NL=4﹣t，则EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，

则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2=EF2+FL2=（2t﹣4）2+（6﹣2t）2．

故由EL=LR得到：EL2=LR2，即4t2=10t2﹣40t+52，

整理，得

t2﹣10t+13=0，

解得 t1=5+2（舍去），t2=5﹣2．

所以当t=5﹣2（s）时，△LRE是等腰三角形；

同理，当ER=LR时，．

综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或s或s时，△LRE是等腰三角形．

考点;四边形综合题．