Question

如图①，已知点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点B在经过点（－2，1）的反比例函数（x＜0）的图像上，连结OA,OB,AB.

（1）求k的值；

（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB的度数；

（3）将反比例函数（x＞0）的图像绕坐标原点O逆时针旋转45°得到曲线l，过点E ，F的直线与曲线l相交于点M,N，如图②所示，求△OMN的面积.

Answer

（1）-2；（2）30°；（3）8

【解析】

（1）把点（-2,1）代入反比例函数即可求出k的值；

（2）过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，设点B（a,-），点A（b，）设点B（a,-），点A（b，）则CO=-a,BC=-,AD=,OD=b，证得△BCO∽△ODA故

得出ab=-2，求得 tan∠BAO=，故∠BAO=30°；

（3）由点E ，F，得OE⊥OF建立新的坐标系，OF为x’轴，OE为y’轴，在新的坐标系中，E（0,8），F（4,0）求得直线EF的解析式为y’=-2x’+8，联立两函数解得M（1,6），N（3,2），即可求出△OMN的面积.

（1）∵把点（-2,1）代入反比例函数（x＜0），

∴k=-2×1=-2，

（2）如图，过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，

设点B（a,-），点A（b，）

∴CO=-a,BC=-,AD=,OD=b

∵∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，且∠BOC+∠CBO=90°，

∴∠AOD=∠CBO，且∠BCO=∠ADO=90°

∴△BCO∽△ODA

∴

∴

∴ab=-2

∴

∴tan∠BAO=

∴∠BAO=30°

（3）∵点E ，F

∴OE⊥OF

建立如图2新的坐标系，OF为x’轴，OE为y’轴，

在新的坐标系中，E（0,8），F（4,0）代入y’=kx’+b

求得直线EF的解析式为y’=-2x’+8

由

解得或

∴M（1,6），N（3,2）

∴S△OMN= S△OFM- S△OFN=