Question

阅读下面材料并完成填空，你能比较两个数2007²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁷的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整数），然后，从分析这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．

（1）通过计算，比较下列各组两个数的大小（在横线上填＞、=、＜号）

①1²       2¹； ②2³       3²； ③3⁴      4³； ④4⁵      5⁴； ⑤5⁶        6⁵；…

（2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是什么？

（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以猜想得到2007²⁰⁰⁸    2008²⁰⁰⁷（填＞、=、＜）．

Answer

（1）＜，＜，＞，＞，＞；（2）当n=1或2时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞．

【解析】

试题（1）根据乘方的意义求出每个式子的结果，再比较即可．

（2）根据（1）的结果即可得出结论．

（3）根据（2）中结论比较即可

试题解析：（1）①12＜21，②23＜32，③34＞43，④45＞54，⑤56＞65；

（2）由（1）可知，当n=1或2时，nn+1＜（n+1）n，

当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；

（3）∵2007＞3，2008＞3，

∴20072008＞20082007．