Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．

（1）若∠A与∠C互补，∠CDF=40°，求∠ABE的度数．

（2）若∠A=∠C=90°，试判断DF与BE有怎样的位置关系，并请说明理由．

Answer

（1）∠ABE=50°; （2）DF∥BE

【解析】

（1）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得到∠ABE∠ABC，∠CDF∠ADC，而∠CDF=40°，则∠ADC=80°，所以2∠ABE+80°=180°，解得∠ABE=50°；

（2）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得到∠ABE∠ABC，∠ADF∠ADC，则∠ABE+∠ADF=90°，而∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得∠AFD=∠ABE，然后根据平行线的判定定理得到DF∥BE．

（1）∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°．

∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F，∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠ADC，而∠CDF=40°，∴∠ADC=2×40°=80°，∴2∠ABE+80°=180°，∴∠ABE=50°；

（2）DF与BE平行．理由如下：

∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°．

∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F，∴∠ABE∠ABC，∠ADF∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=90°，而∠AFD+∠ADF=90°，∴∠AFD=∠ABE，∴DF∥BE．