Question

如图，D为等边三角形ABC内的一点， DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC=150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD'的距离为3；⑤S_{四边形ABCD′}=6+ ，其中正确的有（　　）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

B

【解析】

连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，即可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，

则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于S四边形ADCD′=S△ADD′+S△D′DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．

连结DD′，如图，

∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=60°，

∴△ADD′为等边三角形，

∴DD′=5，所以①正确；

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；

∴D′C=DB=4，

∵DC=3，

在△DD′C中，

∵32+42=52，

∴DC2+D′C2=DD′2，

∴△DD′C为直角三角形，

∴∠DCD′=90°，

∵△ADD′为等边三角形，

∴∠ADD′=60°，

∴∠ADC≠150°，所以②错误；

∵∠DCD′=90°，

∴DC⊥CD′，

∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；

∵S△ADD′+S△D′DC=×52+×3×4=6+，

所以⑤错误．

故选B．