Question

如图，以BC为直径的⊙O交的边AB于E，点D在⊙O上，且DE∥BC，连BD并延长交CA于F，∠CBF＝∠A．

（1）求证：CA是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BD＝2BE，则DE长为　   　（直接写答案）．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接CE，构造直角，通过平行的性持，圆周角定理等进行角的代换，证明∠A+∠BCA＝90°可得出结论；

（2）先证明△BED与△BFA相似，得出BF与BA的比值为 ，再证明△BCF和△ACB相似，且相似比为，再次利用△BED与△BFA相似即可求出结果．

（1）证明：连接CE，

∵DE∥BC，

∴∠BDE＝∠CBF，

∵∠CBF＝∠A，∠BDE＝∠BCE，

∴∠BCE＝∠A，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠CEB＝90°，

∴∠CBA+∠BCE＝90°，

∴∠CBA+∠A＝90°，

∴∠BCA＝90°

∴OC⊥CA，

又∵OC为半径，

∴CA是⊙O的切线．

（2）连接CD，

由（1）知∠BDE＝∠A，

∵∠DBE＝∠DBE，

∴△BDE∽△BAE，

∴，

由（1）知∠CBF＝∠A，

∵∠BCF＝∠BCF，

∴△BCF∽△ACB，

∴，

∵BC＝4，

∴CF＝2，AC＝8，AF＝AC﹣CF＝6，

∵BF＝＝2，

∴AB＝4，

∵∠BDC＝∠BCF＝90°，∠CBF＝∠CBF，

∴△BCD∽△BFC，

∴，

∴，

∴BD＝，

∵△BDE∽△BAE，

∴，

∴，

∴DE＝．

故答案为．