Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；

（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+3；（2）（2，2）；（3）①存在，（﹣1，2）；②存在，（，）

【解析】

（1）先根据已知条件得出A点及C点坐标，利用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；

（2）y＝0代入（1）中所求二次函数的解析式即可的出此函数与x轴的交点坐标，由OD平分∠BOC可知OE所在的直线为y＝x，再解此直线与抛物线组成的方程组即可求出E点坐标；

（3）①过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y＝2代入二次函数解析式即可求出P点坐标，进而可得出四边形OBEP是平行四边形；

②设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，由QA＝QB可知△BEQ的周长等于BE+QA+QE，由A、E两点的坐标可得出直线AE的解析式，再根据抛物线的对称轴是x＝可求出Q点的坐标，进而可得出结论．

【解析】
（1）∵OA＝2，

∴点A的坐标为（﹣2，0）．

∵OC＝3，

∴点C的坐标为（0，3）．

∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；

（2）把y＝0代入y＝﹣x2+x+3，

解得x1＝﹣2，x2＝3

∴点B的坐标为（3，0），

∴OB＝OC＝3

∵OD⊥BC，

∴OD平分∠BOC

∴OE所在的直线为y＝x

解方程组得，，

∵点E在第一象限内，

∴点E的坐标为（2，2）．

（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，

把y＝2代入y＝﹣x2+x+3，

解得x1＝﹣1，x2＝2

∴点P的坐标为（﹣1，2），

∵PE∥OB，且PE＝OB＝3，

∴四边形OBEP是平行四边形，

∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；

②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，

∵QA＝QB，

∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，

又∵BE的长是定值

∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，

由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y＝x+1，

∵抛物线的对称轴是x＝

∴点Q的坐标为（，）

∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小．