Question

如图，AB是的直径，点C是外一点，连接AC，BC，AC与交于点D，弦DE与直径AB交于点F，．

求证：BC是的切线；

若，，，求CD的长．

Answer

(1)见解析；．

【解析】

（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠BAE=∠BDE，推出∠C=∠ABD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，推出AB⊥BC，于是得到结论；

（2）根据垂径定理得到，等量代换得到，求得∠ABD=2∠DAB，解直角三角形即可得到结论．

（1）连接BD，则∠BAE=∠BDE．

∵∠AFE=∠DFB，∴∠E=∠ABD．

∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∴∠C+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴

，∴，∴∠ABD=2∠DAB，∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，∴∠C=60°，∴∠CBD=30°．

∵AB=2，∴BCAB=2，∴CDBC=1．