Question

如图，对称轴为的抛物线与x轴交于点与y轴交于点B，顶点为C．

求抛物线的解析式；

求的面积；

若点P在x轴上，将线段BP绕着点P逆时针旋转得到PD，点D是否会落在抛物线上？如果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）会，点P坐标为（﹣5，0）或（0，0）．

【解析】

（1）抛物线对称轴为x=1，点A（3，0），则抛物线与x轴另外一个交点为（﹣1，0），即可求解；

（2）利用S△ABCCH×OA即可求解；

（3）会．如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为（m，0）．

证明△DNP≌△POB（AAS），得到PN=OB=3，DN=OP=﹣m，ON=－3－m，得到点D的坐标（m+3，﹣m）．将点D坐标代入二次函数表达式，解方程即可得到结论．

（1）抛物线对称轴为x=1，点A（3，0），则抛物线与x轴另外一个交点为（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3；

（2）在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0，则y=﹣3，即点B（0，﹣3），点C的坐标为（1，﹣4）．设对称轴交直线AB与点H，把点B、A坐标代入一次函数表达式：y=kx﹣3得：0=3k﹣3，解得：k=1，则直线BA的表达式为：y=x﹣3，则点H（1，﹣2），S△ABCCH×OA2×3=3；

（3）会，理由如下：

如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为（m，0）．

∵∠DPN+∠OPB=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠DPN，∠DNP=∠BOP=90°，PB=PD，∴△DNP≌△POB（AAS），∴PN=OB=3，DN=OP=﹣m，ON=－3－m，∴N（m+3，0），∴点D的坐标（m+3，﹣m）．

将点D坐标代入二次函数表达式得：（m+3）2﹣2（m+3）﹣3=－m，m2+5m=0，解得：m=－5或m=0，∴点P坐标为（﹣5，0）或（0，0）．