Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．

（1）试判断四边形BEGF的形状并说明理由．

（2）求的值．

Answer

（1）四边形BEGF是菱形；（2）1+．

【解析】

（1）先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论；

（2）设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，由菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得a和b的关系，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得到：，即可得到答案．

（1）四边形BEGF是菱形．理由如下：

∵∠GAH=∠BAH，AH=AH，∠AHG=∠AHB=90°，∴△AHG≌△AHB，∴GH=BH，∴AF是线段BG的垂直平分线，∴EG=EB，FG=FB．

∵∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，∴∠BEF=∠BFE，∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，∴四边形BEGF是菱形．

（2）设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b．

∵四边形BEGF是菱形，∴GF∥OB，∴∠CGF=∠COB=90°，∴∠GFC=∠GCF=45°，∴CG=GF=b．

∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°

∵BH⊥AF，∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，∴∠GAH=∠OBG，∴△OAE≌△OBG，∴OG=OE=a﹣b，AE=BG．

∵在Rt△GOE中，GEOG，∴b（a﹣b），整理得：ab，∴AC=2a=（2）b，AG=AC﹣CG=（1）b．

∵PC∥AB，∴△ABG∽△CPG，∴，∴．