Question

如图，已知抛物线y=x²﹣2x﹣3经过x轴上的A，B两点，与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D，点E为y轴上的一个动点．

（1）求直线BC的函数解析式，并求出点D的坐标；

（2）设点E的纵坐标为为m，在点E的运动过程中，当△BDE中为钝角三角形时，求m的取值范围；

（3）如图2，连结DE，将射线DE绕点D顺时针方向旋转90°，与抛物线交点为G，连结EG，DG得到Rt△GED．在点E的运动过程中，是否存在这样的Rt△GED，使得两直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1） y=x﹣3，D点坐标为（1，﹣2）；（2） m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；（3）存在． G点坐标为（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先根据抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣1，0），B（3，0），利用对称性可得抛物线的对称轴为直线x=1，再求出C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；当x=1时，y=x﹣3=﹣2，则D点坐标为（1，﹣2）；

（2）如图1，先判断△OBC为等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，再计算出CD，然后通过求出△BDE为直角三角形时m的值来确定△BDE为钝角三角形时m的取值范围；

（3）分类讨论：①当点G在对称轴右侧的抛物线上时，如图2，作DF⊥y轴于F，GH⊥DF于H，设G（t，t2﹣2t﹣3），则GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1，由旋转的性质得∠EDG=90°，接着证明Rt△EDF∽Rt△DGH，利用相似的性质得，分2和，列方程求出t的值，进而求出G的坐标；②当点G在对称轴左侧的抛物线上时，用同样的方法可得G点坐标．

（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），所以抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直线BC的解析式为y=x﹣3；

当x=1时，y=x﹣3=1﹣3=－2，则D点坐标为（1，﹣2）；

（2）如图1．

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°．

∵D（1，﹣2），∴CD，当∠EDB=90°时，则△CDE为等腰直角三角形，∴CECD2，∴OE=3﹣2=1，此时E（0，﹣1），∴当m＜﹣1且m≠﹣3时，∠EDB为钝角，△EDB为钝角三角形；

当∠EBD=90°时，则△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=3，此时E（0，3），∴当m＞3时，∠EDB为钝角，△EDB为钝角三角形；

∴m的取值范围为m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；

（3）存在．

①当点G在对称轴右侧的抛物线上时，如图2，作DF⊥y轴于F，GH⊥DF于H，设G（t，t2﹣2t﹣3），则GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1．

∵射线DE绕点D顺时针方向旋转90°，与抛物线交点为G，∴∠EDG=90°，∴∠EDF+∠GDH=90°，而∠EDF+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠GDH，∴Rt△EDF∽Rt△DGH，∴，分两种情况讨论：

i）若2，则2，即t2﹣2t﹣1，解得：t1=1（舍去），t2=1，此时G点坐标为（1）；

ii）若，则，即t2﹣2t﹣1=2，解得：t1=﹣1（舍去），t2=3，此时G点坐标为（3，0）；

②当点G在对称轴左侧的抛物线上时，用同样的方法可得G点坐标为（1）或（﹣1，0）．

综上所述：G点坐标为（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．