Question

在菱形ABCD中，BD=BC，

（1）如图，若菱形ABCD的面积为6．求点B到DC的最短距离.

（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．

Answer

（1）3（2）证明见解析

【解析】

（1）由四边形ABCD为菱形及BD=CD，可知 是等边三角形，由垂线段的性质知当BH时，点B到CD的距离最短.然后根据等边三角形的性质及面积法即可求出点B到CD的最短距离为3 ；

（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH=MD，连接DH．想办法证明△AMN，△DMH都是等边三角形，△ADH≌△BDM即可解决问题；

（1）【解析】
∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD 又∵BD=CD，

∴ ，

当BH时，点B到CD的距离最短。

∵，且BH，

∴H为CD中点，设CD=2x.则BH=，

∴ ， 解得 ，

∴BH=3,即点B到CD的最短距离为3 ；

(2)连接AM，

∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，

∴△BDE≌△DCF，

∴∠DBE＝∠CDF，

∴∠BMF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，

∴∠DMB＝120°，

∵∠DAB+∠DMB＝180°，

∴∠ADM+∠ABM＝180°，

又∵∠ABN+∠ABM＝180°，

∴∠ABN＝∠ADM，

∵AB＝AD，BN＝DM，

∴△ABN≌△ADM，

∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，

∴∠MAN＝∠DAB＝60°，

∴△AMN是等边三角形，

∴AN=NM，

又∵NM=NB+BM,NB=DM，

∴AN=DM+BM.