Question

在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么（说明：定理成立的条件）。比如方程中，，所以该方程有两个不等的实数根，记方程的两根为，，那么+=， =,请根据阅读材料解答下列各题：

（1）已知方程的两根为、，且 >,求下列各式的值:

①        ②

（2）已知是一元二次方程的两个实数根．

①是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

②求使的值为整数的实数的整数值．

Answer

（1）①13②-（2）①不存在②-2,-3或-5

【解析】

（1）根据根与系数的关系求出+，的值，把①配方，把②通分，然后把+，的值代入计算即可；

（2）根据方程有两个实数根，求出+，的值，及的取值范围，①把所给式子化简后代入，把+，的值代入，即可求出的值；②通分后，把+，的值代入，讨论即可.

（1）∵方程的两根为、，且 >，

∴=3 ， =-2 ，

∴==9+4=13，

= ，

（2）∵是一元二次方程的两个实数根．

∴ ， 即k<0，

=1 , = ，

①设存在这样的实数k.则

=，

解得 ，

∵k<0 ， ∴不存在这样的实数k ；

②

=

=- ，

要使-为整数 ， 则 ，

∴k=0,-2,1,-3,-5,3 ，

又∵k<0 ， ∴k=-2,-3或-5.