Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（，）．（3）存在．F1（1，0），F2（2+，0），F3（2﹣，0），F4（﹣3，0）

【解析】

（1）根据抛物线y＝−x2＋bx＋c经过点A（−1，0），点C（0，3），可以用待定系数法求得抛物线的表达式；

（2）根据函数的解析式可以求得点B的坐标，从而可以求得直线BC的解析式，设出点P、D的坐标从而可以表示出△BDC的面积，从而可以得到点P的坐标；

（3）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况分别求得点F的坐标．

（1）∵点A（−1，0），点C（0，3）在抛物线y＝−＋bx＋c上，

∴

解得b＝2，c＝3．

即抛物线的表达式是；

（2）令 ，解得＝−1， ＝3，

∵点A（−1，0），

∴点B的坐标为（3，0）．

设过点B、C的直线的解析式为：y＝kx＋b

，

解得k＝−1，b＝3．

∴过点B、C的直线的解析式为：y＝−x＋3．

设点P的坐标为（a，−a＋3），则点D的坐标为（a， ），

∴PD＝（）−（−a＋3）＝．

∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB

＝PD•a＋PD•(3−a)

＝ ( )•a＋ ()•(3−a)

＝− ．

∴当a＝时，△BDC的面积最大，

∴点P的坐标为（，）．

（3）存在．

当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或−3，

∵E是抛物线上的一点，

∴将y＝3代入 ，得＝0（舍去），＝2；

将y＝−3代入，得 ＝1＋ ， ．

∴（2，3），（1＋，−3），（，−3），

则点（1，0），（2＋，0），（2−，0），

当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，

∵E是抛物线上的一点，

∴将y＝3代入，得＝0（舍去），＝2；

即点（2，3）．

则（−3，0）．

点F的坐标是：（1，0），（2＋，0），（2−，0），（−3，0）．