Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上（E不与A重合，F不与C重合），EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF.

（1）写出图中与△AEG相似的三角形；

（2）求线段EF的长；

（3）设EG＝x，△AEG与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值

Answer

（1）与△AEG相似的三角形分别为：△ACD、△CFH、△CAB；（2）EF＝；（3）S＝，自变量x的取值范围为0＜x＜，S的最小值为．

【解析】

（1）根据相似三角形的判定易得解；

（2）先求得AC=5，由△AGE∽△ACD得，得AE＝GE，同理得CF＝FH，根据AE＋EF＋FC＝AC，即（GE＋FH）＋EF＝5，得 EF＋EF＝5，即可得解；

（3）根据△AEG∽△ACD，得，即AG＝x ，由EG＋FH＝EF，得FH＝EF－EG＝－x，同理可得CH＝（－x），再根据S＝S△AEG＋S△CFH＝AG·EG＋CH·FH即可得到S关于x的函数关系式，其中自变量x的取值范围为0＜x＜ ，然后将二次函数的解析式变形为顶点式即可得解.

（1）与△AEG相似的三角形分别为：

△ACD、△CFH、△CAB；

（2）在RtABC中，AB＝3，BC＝4，

AC＝＝5，

由△AGE∽△ACD得，得AE＝GE，

同理得CF＝FH，

AE＋EF＋FC＝AC，

即 GE＋EF＋ FH＝5，

（GE＋FH）＋EF＝5，

∵EG＋FH＝EF，

∴ EF＋EF＝5，

EF＝；

（3）若EG＝x，

∵△AEG∽△ACD，

∴，即，得AG＝x ，

∵EG＋FH＝EF，

∴FH＝EF－EG＝－x，

又由△CFH∽△CAB，

同理可得CH＝（－x），

S＝S△AEG＋S△CFH

＝AG·EG＋CH·FH

＝·x·x＋·（－x）·（－x）

＝ ，

其中自变量x的取值范围为0＜x＜ ，

通过配方，S＝，

∴S的最小值为．