Question

如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若∠A＝60°，AB＝4，BC＝6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）根据Rt△ABF的边角关系，求得BF和AF，再根据矩形的性质，求得DF的长，最后计算矩形的面积．

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD中点，

∴BC∥AD，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

又∵∠BOE=∠DOF，

∴△BOE≌△DOF(ASA)，

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)∵四边形BEDF是矩形

∴∠AFB=90°

又∵∠A=60°，

∴∠ABF=30°，

∴AF=AB=×4=2，

∴Rt△ABF中,BF=2，

又∵AD=BC=6，

∴DF=6−2=4，

∴矩形BEDF的面积=BF×DF=2×4=8.