Question

已知抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧．

当时，抛物线与y轴交于点C．

直接写出点A、B、C的坐标；

如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标；

如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求PQ的最大值；

如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足与互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．

Answer

（1）①A（-1，0），B（3，0），C（0，3）②D点坐标为（，）③PQ最大为（2）NH=1为定值，故不变.

【解析】

（1）①将m带入抛物线解析式解得与x,y轴的交点.

②设OC交BD于点E，过D点作x轴垂线交x轴F点, 利用△EOB∽△DFB，求得D点的纵坐标，在代入AC的直线方程即可.

③求PQ的最大值，即求△BCP面积的最大值,列出其面积最大值的二次函数配方式计算.

（2）运用△MAN∽△BHN，得到NH的值即可.

（1）当m=2时，为，当x=0时，y=3

当y=0时，x=-1或x=3.

综上，A（-1，0），B（3，0），C（0，3）

②

设OC交BD于点E，过D点作x轴垂线交x轴F点.

由①知，AB=4，OC=3

∴AC=，BD=

∵，OB=OC，∠AOC=∠EOB

∴△AOC≌△EOB（ASA）

∴OE=1

∵△EOB∽△DFB

∴

DF=，即D点坐标为

带入直线AC中得D点横坐标为.

故D点坐标为（，）

③

求PQ的最大值，即求△BCP面积的最大值，过P点作PL∥y轴，交BC于点L

设P点坐标为（x，），则L为（x，-x+3）

则S△BCP=·PL·3=·()= -·

∴当x=时，S△BCP最大为.

此时PQ最大为.

（2）设N点为x，则AN=1+x，BN=3-x，MN=

∵与互余，∠MNA=∠BNH=90°

∴△MAN∽△BHN

∴,即

∴NH=1为定值，故不变.