Question

如图，在平面直角坐标系中，函数 （，是常数）的图像经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2．过点A作轴垂线，垂足为C，过点作轴垂线，垂足为，AC与BD交于点E，连结AD，，CB．

（1）若的面积为3，求m的值和直线的解析式；

（2）求证：；

（3）若AD//BC ，求点B的坐标 ．

 

Answer

（1），y=-2x+10；(2) 见解析；(3) B(4，3)

【解析】

（1）先求出k的值，进而得出mn=12，然后利用三角形的面积公式建立方程，联立方程组求解即可；
（2）先表示出BE，CE，DE，AE，进而求出BE•CE和DE•AE即可得出结论；
（3）利用（2）的结论得出△DEC∽△BEA，进而得出AB∥CD，即可得出四边形ADCB是菱形即可得出点B的坐标．

（1）∵函数y= （x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），
∴k=2×6=12，
∵B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，
∴mn=12①，BD=m，AE=6-n，
∵△ABD的面积为3，
∴BD•AE=3，
∴m（6-n）=3②，
联立①②得，m=3，n=4，
∴B（3，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10 ；

(2) ∵A（2，6），B（m，n），
∴BE=m-2，CE=n，DE=2，AE=6-n，

∴DE•AE=2（6-n）=12-2n，

BE•CE=n（m-2）=mn-2n=12-2n，

∴DE•AE=BE•CE，
∴ ；

(3) 由（2）知， ，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴△DEC∽△BEA，
∴∠CDE=∠ABE
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCB是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形ADCB是菱形，
∴DE=BE，CE=AE．
∴B（4，3）．

故答案为：（1），y= -2x+10；(2) 见解析；(3) B(4，3)