Question

如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C 重合)，连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD=3，sin∠BAC=.设AP的长为x.

(1)AB等于多少；当x=1时，等于多少；

(2)①试探究: 否是定值?若是，请求出这个值;若不是，请说明理由;

②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值.

Answer

（1） 4， ；（2）①是定值，；②

【解析】

（1）作PM⊥AB于M交CD于N．由△BMP∽△PNE，推出 ，只要求出PN、BM即可求解；
（2）①结论：的值为定值．证明方法类似（1）；
②利用勾股定理求出PB2，根据三角形的面积公式，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解析】
（1）作PM⊥AB于M交CD于N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3，∠ABC=90°，
∴AC= =5，AB= =4．
在Rt△APM中，PA=1，PM= ，AM= ，
∴BM=AB-AM= ，
∵MN=AD=3，
∴PN=MN-PM= ，
∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°，
∴∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，
∴∠BPM=∠PEN，
∴△BMP∽△PNE，
∴ ，
故答案为4， ；
（2）①结论： 的值为定值．
理由：由PA=x，可得PM=x．AM=x，BM=4-x，PN=3-x，
∵△BMP∽△PNE，
∴ ；

②在Rt△PBM中，PB2=BM2+PM2=（4-x）2+（x）2=x2-x+16，
∵，
∴PE=PB，
∴S=•PB•PE=PB2=（x2-x+16）=（x-）2+ ，
∵0＜x＜5，
∴x=时，S有最小值=．

故答案为：（1）4， ；（2）①是定值，②x=时， =.