Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直经作⊙O交BC与D点，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：FE⊥AB．

（2）当AE＝6，AF＝10时，求BE的长．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）连接OD，由EF为⊙O的切线，利用切线的性质得到OD与EF垂直，利用同圆的半径相等和等边对等角得到OD∥AB，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；
（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，先根据勾股定理求EF=8，根据三角函数tan∠F=== = ，设OD=3x，DF=4x，则OF=5x，表示AG=，根据AE=6，列方程3x+=6，可得x的值，计算BE的长．

证明：（1）如图1，连接OD，

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD，

又∵AB＝AC，

∴∠OCD＝∠B，

∴∠ODC＝∠B，

∴OD∥AB，

∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，

∴OD⊥EF，

∴AB⊥EF;

（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，

Rt△AEF中，∵AE＝6，AF＝10，

∴EF＝8，

tan∠F＝== = ，

设OD＝3x，DF＝4x，则OF＝5x，

∴OA＝OC＝3x，FC＝2x，

∵OG∥EF，

∴∠AOG＝∠F，

∴sin∠AOG＝sin∠F＝=，

∴== ，

∴AG＝，

∵四边形EDOG为矩形，

∴EG＝OD＝3x，

∵AE＝6，

∴3x+ ＝6，

x＝，

∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝6x﹣6＝6×﹣6＝．