Question

如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标且开口向下，则下列结论：①抛物线经过点；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立。其中结论正确的个数为（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

B

【解析】

逐一分析4条结论是否正确：①根据抛物线的顶点坐标，得出对称轴为x=1，再根据抛物线的对称性得出①正确；②根据抛物线的对称轴为x=1，即可得出b+2a=0，再根据开口方向，即可得出②正确；③根据顶点坐标且开口向下，得出直线与抛物线没有交点，即可得出③错误；④抛物线开口向下，对称轴为x=1，有最大值，再根据x=m时的函数值为，由此即可得出④错误,综上即可得出结论．

【解析】
①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标

∴对称轴为x=1，
∵抛物线与轴交于点，

∴则关于对称轴x=1的对称点的坐标为

∴抛物线经过点；∴①正确

②∵抛物线的对称轴为x=1，

∴-=1，∴-2a=b，∴2a+b=0

∵开口向下，∴a

∴；

∴②正确；
③∵

∴

∵顶点坐标且开口向下，

∴直线与抛物线没有交点，

∴关于的方程没有实数根；

∴③错误；

④∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，开口向下

∴当x=1，

∵当x=t时，y= at2+bt+c

∵为任意实数

∴≤

∴．
∴

∴④错误．
故选：B．