Question

已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上

（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；

（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。

Answer

（1）①见解析②（2）O≤CP≤5，MN最大值为

【解析】

（1）先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE,再利用锐角三角函数即可得出CN的长；（2）先确定出PC的最大值和最小值的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质与勾股定理即可得出结论.

（1）①∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，

∴△AME≌△PME，

∴∠AME=∠PEM，AE=PE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵EP⊥BC，

∴AB∥EP，

∴∠AME=∠PEM，

∴∠AEM=∠AME，

∴AM=AE,

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥AE，

∴

∴CN=CE

②设CN=CE=x，

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∴PE=AE=5-x，

∵EP⊥BC，

∴，

∴

∴x=

即CN=

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得AC=5，

由折叠可知AE=PE,

由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，

∴AC＞PC，

∴PC＜5，

∴点E是AC中点时，PC的最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，

∴O≤CP≤5，

如图，当点C、N、E重合时，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，

由折叠得PM=AM，

在Rt△PBM中，PM=4-BM，根据勾股定理得PM2-BM2=BP2，

∴(4-BM)2-BM2=42，

∴BM=

在Rt△BCM中，根据勾股定理得MN=

即当CP最大时，MN=.