Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥PC.

(1)找出图中一对全等三角形，并证明；

(2)求∠BPC的度数．

Answer

(1)△APC≌△BDC，理由见解析；(2) ∠BPC＝135°.

【解析】

（1）根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“边角边”证明△APC≌△BDC；
（2）先判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解

(1)△APC≌△BDC，理由如下：

∵∠ACB＝90°，CD⊥CP，∴∠ACB＝∠PCD，

∴∠ACB－∠PCB＝∠PCD－∠PCB，

即∠ACP＝∠BCD，

又∵AC＝BC，PC＝DC，∴△APC≌△BDC(SAS)．

(2)∵△APC≌△BDC，∴AP＝BD，

∵PC＝CD＝2，∠PCD＝90°，

∴PD2＝PC2＋CD2＝8，∠CPD＝45°.

∵PA＝3，PB＝1，∴BD＝3，∴BD2＝9，PB2＝1.

∴BD2＝PB2＋PD2，∴∠BPD＝90°.

∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝135°.