Question

如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E、F分别在AC、BC上，且∠EDF＝90°．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）试判断CE、CF与CD之间的数量关系，并说明理由；

（3）若CF=1，CE=3，试求DF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质得到AD=BD=CD，∠A=∠B=∠DCF=45°．再由同角的余角相等得到∠ADE=∠CDF．用ASA即可证明△AED≌△CFD；

（2）由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得出CE+CF=AD；

（3）过D作DG⊥CA于G．由△AED≌△CDF可以求得AC、AD的长，再由等腰直角三角形的性质得出AG、DG的长，从而得到EG的长，再DF=ED和勾股定理即可得出结论．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵CD⊥AB，∴AD=BD=CD，∠A=∠B=∠DCF=45°．

∵∠EDF=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠CDF．

在△AED和△CDF中，∵ ∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠DCF，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∴CE+CF=CE+AE=AC．

∵△ADC是等腰直角三角形，∴AC=AD，∴CE+CF=AD；

（3）过D作DG⊥CA于G．由（2）得：△AED≌△CFD ，AC=CE+CF=4，CE+CF=AD，∴ED=FD，3+1=AD，解得：AD=．

∵∠A=45°，∴△AGD是等腰直角三角形，∴AG=DG=2．

∵AE=CF=1，∴EG=AG-AE=2-1=1，∴DF=ED=．