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抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3). ...

抛物线yx2+bx+c经过点ABC,已知A(﹣10),C0,﹣3).

1)求抛物线的解析式;

2)如图1,抛物线顶点为EEFx轴于F点,Mm0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.

3)如图2,将抛物线平移,使其顶点E与原点O重合,直线ykx+2k0)与抛物线相交于点PQ(点P在左边),过点Px轴平行线交抛物线于点H,当k发生改变时,请说明直线QH过定点,并求定点坐标.

 

(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3)当k发生改变时,直线QH过定点,定点坐标为(0,﹣2) 【解析】 (1)把点A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入抛物线表达式求得b,c,即可得出抛物线的解析式; (2)作CH⊥EF于H,设N的坐标为(1,n),证明Rt△NCH∽△MNF,可得m=n2+3n+1,因为﹣4≤n≤0,即可得出m的取值范围; (3)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则点H(﹣x1,y1),设直线HQ表达式为y=ax+t,用待定系数法和韦达定理可求得a=x2﹣x1,t=﹣2,即可得出直线QH过定点(0,﹣2). 【解析】 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C, 把点A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入,得:, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3; (2)如图,作CH⊥EF于H, ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴抛物线的顶点坐标E(1,﹣4), 设N的坐标为(1,n),﹣4≤n≤0 ∵∠MNC=90°, ∴∠CNH+∠MNF=90°, 又∵∠CNH+∠NCH=90°, ∴∠NCH=∠MNF, 又∵∠NHC=∠MFN=90°, ∴Rt△NCH∽△MNF, ∴,即 解得:m=n2+3n+1=, ∴当时,m最小值为; 当n=﹣4时,m有最大值,m的最大值=16﹣12+1=5. ∴m的取值范围是. (3)设点P(x1,y1),Q(x2,y2), ∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H, ∴H(﹣x1,y1), ∵y=kx+2,y=x2, 消去y得,x2﹣kx﹣2=0, x1+x2=k,x1x2=﹣2, 设直线HQ表达式为y=ax+t, 将点Q(x2,y2),H(﹣x1,y1)代入,得, ∴y2﹣y1=a(x1+x2),即k(x2﹣x1)=ka, ∴a=x2﹣x1, ∵=( x2﹣x1)x2+t, ∴t=﹣2, ∴直线HQ表达式为y=( x2﹣x1)x﹣2, ∴当k发生改变时,直线QH过定点,定点坐标为(0,﹣2).
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考点分析:
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(1)写出线段与线段的关系并证明;

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(3) 绕点逆时针旋转一周,如果,直接写出线段的范围.

 

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1)求出每天的销量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式,并直接写出x的范围;

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