Question

已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．

（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？

（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？

   

Answer

（1）60°，30°；（2）为定值50°．

【解析】

（1）过C作CP∥EF，进而得到EF∥MN∥CP，根据平行线的性质，求出∠DBN的度数，进而求出∠MBC、∠EAC的度数；

（2）根据∠CBN是△CBG的外角，得到∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．根据角平分线的定义得到∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．由三角形外角的性质得到∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG，即可得出结论．

（1）如图1，过C作CP∥EF．

∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．

∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．

∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．

∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．

∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．

（2）∠GHB为定值50°．理由如下：

∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．

∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．

∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．