Question

如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S_△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer

（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3） 或，当x=2时，y有最大值为2．

【解析】

试题（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．

试题解析：

(1)四边形APQD为平行四边形．

(2)OA＝OP，OA⊥OP.理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.

∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO，∴OB＝OQ，

∴△AOB≌△OPQ(SAS)．

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.

(3)如解图，过点O作OE⊥BC于点E.

①当点P在点B右侧时，

BQ＝x＋2，OE＝，

∴y＝··x

＝－.

又∵0≤x≤2，

∴当x＝2时，y有最大值2.

②如解图②，当点P在点B左侧时，

BQ＝2－x，OE＝，

∴y＝··x

＝－＋.

又∵0≤x≤2，

∴当x＝1时，y有最大值.

综上所述，y的最大值为2.