Question

如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．

（1）求∠BAC的度数；

（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；

（3）在点P的运动过程中

①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；

②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．

Answer

（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°

②36或．

【解析】

试题（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；

（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；

（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.

（1）【解析】
（1）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠CBA=45°；

（2）【解析】
∵，∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，

∴CD平分∠BDP

又∵CD⊥BP，∴BE=EP，

即CD是PB的中垂线，

∴CP=CB= CA，

（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；

（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；

（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；

（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°

②（Ⅰ）如图6， ,

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（Ⅱ）如图7， ,

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设BD=9k,PD=2k,

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