Question

如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．

（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．

（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长；在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC；

根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．

【解析】
（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：

，解得；

故m=﹣，n=4．

（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；

由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB==5；

若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；

故抛物线需向右平移5个单位，即：

y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．

（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；

∵A（﹣2，4），B′（6，0），

∴直线AB′：y=﹣x+3；

当x=4时，y=1，故C（4，1）；

所以：AC=3，B′C=，BC=；

由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；

若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：

①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：

=，即=，B′D=3，

此时D（3，0）；

②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：

=，即=，B′D=，

此时D（，0）；

综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．

“点睛”此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．